题主大概是想问后人怎么称呼这老几位吧。
李白
李白，一般都直接说李白吧，或者太白，青莲居士，谪仙都可以……像诗仙这种很少有人直接说“诗仙”如何如何。
太白是他的字，青莲居士是他的号，多数时候谈及古人，称呼他的字或者号其实就很雅了。谪仙是贺知章给他取得，李白在怀念贺知章时写了《对酒忆贺监二首其一》全诗如下:
四明有狂客，风流贺季真。
长安一相见，呼我谪仙人。
昔好杯中物，翻为松下尘。
金龟换酒处，却忆泪沾巾。
杜甫
杜甫，称呼就比较多了，杜工部，杜少陵，子美，杜拾遗。诗圣。
杜甫字子美，号少陵野老，工部是他的官职，也曾做过左拾遗。一般有官职的，也会在其姓后加上官职，应该也是一种雅称吧，比如柳永柳屯田这样的。
李贺
李贺，李长吉，鬼才，诗鬼。
长吉是他的字，与李白，李商隐，并称“三李”。
白居易
白居易，白乐天，江州司马，香山居士。诗魔，诗王。
白居易，字乐天，号香山居士，江州司马也是官职，其名篇《琵琶行》中有“座中泣下谁较好多？江州司马青衫湿。”故也有这么称呼他的。
另外多说一句，有一些在称呼某大家的时候用到带地名的雅称，如韦苏州，洛阳才子，这种也比较多见。
李白——诗仙
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。天生我材必有用，千金散尽还复来。
杜甫——诗圣
国破山河在，城春草木深。感时花溅泪，恨别鸟惊心。烽火连三月，家书抵万金。白头搔更短，浑欲不胜簪。
李贺——诗鬼
李凭箜篌引吴丝蜀桐张高秋，空山凝云颓不流。江娥啼竹素女愁，李凭中国弹箜篌。昆山玉碎凤凰叫，芙蓉泣露香兰笑。十二门前融冷光，二十三丝动紫皇。女娲炼石补天处，石破天惊逗秋雨。梦入神山教神妪，老鱼跳波瘦蛟舞。吴质不眠倚桂树，露脚斜飞湿寒兔。
白居易——诗魔
长恨歌 白居易汉皇重色思倾国，御宇多年求不得。杨家有女初长成，养在深闺人未识。天生丽质难自弃，一朝选在君王侧。回眸一笑百媚生，六宫粉黛无颜色。春寒赐浴华清池，温泉水滑洗凝脂。侍儿扶起娇无力，始是新承恩泽时。云鬓花颜金步摇，芙蓉帐暖度春宵。春宵苦短日高起，从此君王不早朝